Inquietudes…

Jueves, 28 febrero, 2008

Nunca puedes estar seguro

Filed under: humorísticas,matemáticas — Manuel @ 21:14

dilbert-random.gif

Viñeta 1: Tour de contabilidad. “Aquí tenemos nuestro generador de números aleatorios.”
Viñeta 2: “NUEVE NUEVE NUEVE NUEVE NUEVE NUEVE”
Viñeta 3: “¿Estás seguro que es aleatorio?” “Ése es el problema con la aleatoriedad: nunca puedes estar seguro.”

Sábado, 23 febrero, 2008

El nacimiento de la mecánica cuántica

Filed under: essentials,físicas,matemáticas — Manuel @ 17:44

quantum-image.jpgCuando una teoría que intenta explicar la naturaleza comienza a dar resultados que no concuerdan con lo que medimos, ¡es un buen momento para cambiarla por otra nueva!

Esta es la historia de cómo un truco matemático significó en realidad una nueva interpretación de la realidad: el nacimiento de la mecánica cuántica. Y ocurrió a principios del siglo XX, momento en el que las dos teorías que intentaban explicar lo que nos rodea comenzaban a hacer aguas: la ley de gravitación universal y la teoría electromagnética clásica.

El problema del infinito

En el caso de la teoría electromagnética, el problema ocurría cuando se intentaba explicar la emisión de radiación de un objeto en equilibrio. Cualquier objeto emite una radiación que proviene de la vibración microscópica de las partículas que lo componen. Es la llamada radiación térmica.

Pues bien, usando las ecuaciones de la electrodinámica clásica, si calculabas la energía que emitía esta radiación térmica ¡daba infinito! Este ilógico resultado intrigaba a los físicos de la época.

El motivo por el que la energía de la radiación térmica de un objeto daba infinito, dicho de manera simple, provenía de que para calcularla debías sumar todas las frecuencias que emitía el objeto. Estas frecuencias, según la teoría electromagnética clásica, se distribuían de manera continua*, con lo que para sumarla debías hacerlo sobre todos los valores posibles: es decir, debías hacer una suma continua; una integral.

Entra Planck. Sale el electromagnetismo clásico.

max-planck-2.jpgPero justo en el año 1900, a Max Planck se le ocurrió un truco matemático: se dio cuenta de que si sustituímos la integral por un sumatorio, es decir, por una suma no continua (discreta*), no sólo dejábamos de obtener un infinito, sino que además el resultado concordaba con lo que después medíamos.

Aceptar el truco matemático de Planck tenía serias implicaciones que chocaban con la teoría vigente: suponía aceptar que la energía y las frecuencias que emite cualquier objeto se distribuyen de manera discreta; es decir, están cuantizadas y sólo puede tener ciertos valores. Era realmente extraño y hasta el mismo Planck, cuando publicó los resultados, afirmaba que su hipótesis era, sin duda, falsa.

Sin embargo, el tiempo (y Niels Bohr, y Albert Einstein) demostró que no era así. Investigaciones posteriores pusieron de manifiesto no sólo que la energía estaba cuantizada, sino que a nivel microscópico muchas más cosas también lo están (como la misma luz, el momento lineal, las “órbitas” de los electrones en un átomo…). El problema es que en el mundo que vemos, el mundo macroscópico, no notamos esa cuantización por lo diminuta que es.

Tiempos distintos, mismos problemas

lhc-2.jpgLo que comenzó siendo un “truco matemático” tiene tantas implicaciones dentro de la física, que todavía, más de un siglo después, no logramos comprender muchas de ellas.

La teoría cuántica que surge con el descubrimiento de Planck ha evolucionado mucho. Ha llegado a lo que hoy llamamos Teoría Cuántica de Campos (TCC). Sin embargo, los problemas con los que nos encontramos ahora no han evolucionado tanto.

Y es que cuando en la TCC haces algunos cálculos básicos, te encuentras con que el resultado es, de nuevo, infinito. Y aunque existen trucos -bastante insulsos, por cierto- de esquivar esos infinitos, no terminamos de entender por qué los obtenemos ni cómo mejorar la teoría.

Para dar un poco de luz al tema se está construyendo una inmensa máquina en la frontera entre Suiza y Francia, el Large Hadron Collider, que esperamos que nos ayude a desvelar este gran misterio y a ampliar los límites del saber humano más allá de la TCC. Hasta el siguiente infinito…

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* Una variable es continua si entre dos valores cualesquiera existen infinitos valores (como ocurre, por ejemplo, con los números reales). En contraposición, una variable es discreta cuando existen valores sucesivos que no tienen ninguno en medio de ellos (los números naturales N={0, 1, 2, 3, …} sería un ejemplo).

Viernes, 21 septiembre, 2007

Distribución de visitas de Inquietudes

Filed under: essentials,marketing,matemáticas — Manuel @ 19:34

En el post sobre el record de visitas de Agosto, mi hermano Dani me hizo un inspirador comentario que me llevó a la siguiente pregunta: ¿cómo se distribuyen las visitas a lo largo de los posts de Inquietudes?

Con un poco de Excel y paciencia, obtuve la respuesta:

¿Qué significa esta gráfica? Aquí se representa el número de posts que tienen menos visitas que las indicadas en el eje X. Como se ve, el grueso de mis posts tienen entre 10 y 100 visitas. Es decir, el último punto arriba a la derecha, dice que hay 165 posts con menos de 14.000 visitas. Lo más sorprendente es que sólo 2 posts suman más visitas que los otros 163 restantes (¿adivináis cuáles?). De hecho, con sólo 16 posts (el 10%) cubro el 80% de las visitas.

Es importante conocer cuáles son los posts con más visitas de tu blog, pues la mayoría de éstas vienen de buscadores, y por tanto de gente que no lee frecuentemente tu blog. Si los tienes localizados, puedes usar estrategias de punto de entrada para “enganchar” a estos lectores a tu blog y así tener más lectores habituales.

Volviendo a la distribución, tengo curiosidad por saber qué aspecto tendrá la de los blogs más visitados, como Microsiervos o ALT1040. ¿Seguirán un patrón similar?

Domingo, 25 febrero, 2007

Google Trends como termómetro social

Filed under: económicas,essentials,matemáticas,sociales — Manuel @ 22:25

Kikollan, de SalaBecarios, utiliza el Google Trends para analizar el interés de la gente sobre la burbuja immobiliaria con los siguientes resultados:

google-trends-burbuja-immobiliaria.jpg

Dejando aparte las curiosas conclusiones que se pueden hacer sore los resultados de esta gráfica, creo muy prometedor el hecho de poder usar Google Trends como termómetro para medir las inquietudes sociales y para buscar la relación entre estas inquietudes y los sucesos pasados y futuros que se producen en la sociedad.

Cuantitativamente, ¿en qué consistiría esto? Básicamente habría que buscar la relación existente entre la función n(p,t), donde n es el número de búsquedas de la palabra p en el momento t, y S(p,t), o sucesos del mundo real relacionados con la palabra p en el momento t.

La función n la da Google Trends, mientras que la función S se podría deducir contando el número de noticias que se refieren a la palabra p para cada momento t, gráfica que también nos proporciona Google Trends, pero sólo referida a unos cuantos medios de lengua inglesa.

¿Qué podríamos hacer si tuviéramos esa información en un fichero tratable (y no sólo en modo gráfico como las proporciona Google)? En principio me gustaría ver cómo quedarían los dos desarrollos de Fourier de n y S. Quién sabe si de ahí se podrá sacar alguna conclusión interesante que relacione ambas funciones…

Quizás en el futuro se podrá usar herramientas similares para prever crisis sociales, como recesiones, guerras, etc…

Martes, 9 enero, 2007

En la autoescuela: curva de aprendizaje

Filed under: científicas,matemáticas — Manuel @ 8:32

Mirando en mis archivos encontré esta gráfica que hice cuando estaba estudiando el examen de conducir para motivarme.

Los puntos azules son los fallos que tenía en cada test que iba haciendo. En fucsia el promedio de errores de los últimos 15 exámenes, con las barras que muestran la desviación (cada vez menor) y una línea de tendenecia. En verde el % de exámenes que había aprobado en los últimos 15 y que de alguna manera, me daba la probabilidad de aprobar en el examen de Tráfico.

Lo más interesante de todo es que se atisba la típica curva de: el número de fallos decrecen exponencialmente (o la probabilidad de aprobar parece crecer exponencialmente).

grafico-trafico.JPG

Al final, resultó que el examen de Tráfico era mucho más fácil que el programa que usaba yo, y sí, aprobé. 🙂

Lunes, 28 agosto, 2006

Y los ricos serán todavía más ricos…

Filed under: científicas,essentials,matemáticas — Manuel @ 0:46

En 1864, Benjamín Peirce se tomó una foto delante de una pizarra en el que había escrito la fórmula i-i = √(eπ). En sus clases, decía a sus estudiantes:

“Señores, no tenemos la menor idea de lo que significa esta ecuación pero podemos estar seguros de que su significado es algo muy importante.”

Cuando yo estudiaba física o matemáticas, veía que había una tendendia general a explicar y a aprender las cosas sin entender su utilidad o significado final. Una de ellas es el número de Euler; la constante e, cuyo valor es 2.71828 18284 59045 23536 …

Hay varias definiciones de e. Una de las más conocidas, que a mí personalmente me ayuda poco a entenderlo, es:

e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

Sin embargo, la principal utilidad de e y el motivo por el que se encuentra en tantas leyes básicas de la naturaleza es porque el número e está en todo aquello que crece cuanto más hay. Por ejemplo:

  • La propagación de enfermedades depende de cuánta gente tenga una enfermedad, cuantos más haya, más rápido se propaga.
  • Cuanto más dinero se tiene en un banco, más se gana por los intereses.
  • En una placa de petri, cuántas más bacterias hay, más rápido crece la colonia.

¿Qué ocurre en estos casos? En todos ellos, la velocidad con la que aumenta algo (el dinero, la población de una colonia, etc…) depende de la cantidad que hay de ese algo. La velocidad, o el cambio en el tiempo de algo, en matemáticas, es la derivada de ese algo. Y aquí entra el número e:

La única función cuya derivada es igual a ella misma (f'(x)=f(x)) es

f(x)=c * ex (donde c es una constante cualquiera)

Esta función es la llamada función exponencial, cuyo gráfico es:

Por tanto, todo aquello cuyo crecimiento depende de la cantidad que haya, crecerá exponencialmente.

Y los ricos serán todavía más ricos…

Domingo, 20 agosto, 2006

Asteroids sobre una rosquilla

Filed under: científicas,essentials,informáticas,matemáticas — Manuel @ 21:24

Para ilustrar el post anterior sobre topología, pongamos un caso práctico: el juego Asteroids.

asteroides-multijugador.jpg

En el juego, si la nave desaparece por la parte superior de la pantalla, vuelve a aparecer por la parte inferior, y si aparece por la derecha, vuelve a aparecer por la izquierda.

Aunque el juego aparece representado sobre el trozo de un plano, es evidente que la forma del espacio sobre el que se mueve la nave no es un plano. Intuitivamente, tendemos a pensar que la nave se mueve por una esfera; pero veámoslo en más detalle:

Puesto que al salir por arriba, apareces por debajo, debemos unir la parte superior de la pantalla con la inferior. ¿Qué queda? Obviamente: un clilindro.

cilindro.JPG

Y, puesto que al salir por un lado, apareces por el otro, deberemos unir los extremos del cilindro entre sí. La figura resultante es… ¡una rosquilla!

toruscircles_500.gif

No sé si alguna vez has jugado al Asteroids (o al Snake, sin murallas, de los Nokias), pero, si lo habías hecho, ¿habías imaginado alguna vez que en realidad estabas jugando sobre una rosquilla?

Martes, 25 julio, 2006

La Topología del Universo

Filed under: científicas,essentials,matemáticas — Manuel @ 22:07

Hoy quiero hablar sobre una idea simple pero que creo que es muy potente; al menos para responder a la pregunta, ¿cómo es nuestro universo?

Supongamos que tenemos una serie de “n” puntos, que están relacionados entre sí de la siguiente manera:

  • El punto 1 está conectado al 2.
  • El 2 al 3.
  • El 3 al 4.
  • el n-1 al n
  • El punto n está conectado otra vez al punto 1.

Imaginemos que fuéramos un ser que viviéramos dentro de uno de esos puntos y pudiéramos viajar de un punto a otro siempre y cuando esté conectado. Todo nuestro espacio es ése; no podemos salir. Si viajáramos mucho, cuando lleguemos al punto n veríamos que retornamos al punto 1 es decir, aunque no podamos salir de nuestro espacio, podríamos ver que vivimos en una figura similar al círculo; podríamos establecer una regla que nos permitiría imaginarnos nuestro universo.
Imaginemos una esfera, donde también hay n puntos distribuidos de manera uniforme de tal manera que todos los puntos están a la misma distancia de sus primeros vecinos. En función de cuántos puntos pongamos, tendremos una figura tridimensional regular.

platonic.jpg

De tal manera que cuando n tiende a infinito, tendremos la misma esfera.

Ahora imaginemos de nuevo que vivimos dentro de esa esfera, y que nos movemos de un punto a otro siempre que estén conectados (sólo están conectados los que están más cerca entre sí). Al cabo de un tiempo viajando siempre en la misma dirección, veríamos que volvemos al punto inicial. Haciendo más viajes en direcciones diferentes podríamos deducir la forma de nuestro espacio (fue lo que hizo Magallanes para demostrar que la Tierra era esférica).
Por lo tanto, sin salir del espacio en el que estamos, sólo conociendo la “regla” con la que se conectan los puntos del universo, podemos deducir qué forma tiene éste: si es esférico, si tiene forma de rosquilla, si es un círculo e incluso podríamos deducir la curvatura que tiene.

curved.jpg
Ahora bien, ¿qué ocurre en nuestro mundo tridimensional?

Localmente, si cogemos un trozo pequeño, podemos decir que es euclideano; las dimensiones no se curvan (equivale a un plano en dos dimensiones). Lo mismo nos ocurriría si viviéramos en una esfera muy grande: como lo que veríamos nos parecería plano, podemos pensar erróneamente que vivimos en un plano (de hecho, era lo que se pensaba sobre la Tierra hasta Cristóbal Colón).

Sin embargo, si fuéramos capaces de viajar grandes distancias, posiblemente veríamos otra cosa: que el espacio se curva. Una manera de detectarlo sería viajando por el espacio exterior, a través de estrellas y galaxias, siempre en la misma dirección: probablemente volveríamos al lugar inicial donde estamos. De hecho, la curvatura del espacio ya se detecta sólo viendo cómo se curva la luz de astros muy lejanos, y se explica con la teoría de la relatividad.

Si el espacio/universo en el que vivimos es curvo, ¿qué forma tiene?

Puesto que pensamos sólo en tres dimensiones, no somos capaces de visualizar la forma de nuestro universo. Pero no lo necesitamos, y aquí viene lo importante: sólo tenemos que establecer la regla que conecta los n puntos de nuestro espacio; regla que podemos deducir sin salir de nuestro universo: análogamente al caso de la esfera y el círculo.

Fácil, ¿no?

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