Inquietudes…

Lunes, 28 agosto, 2006

Y los ricos serán todavía más ricos…

Filed under: científicas,essentials,matemáticas — Manuel @ 0:46

En 1864, Benjamín Peirce se tomó una foto delante de una pizarra en el que había escrito la fórmula i-i = √(eπ). En sus clases, decía a sus estudiantes:

“Señores, no tenemos la menor idea de lo que significa esta ecuación pero podemos estar seguros de que su significado es algo muy importante.”

Cuando yo estudiaba física o matemáticas, veía que había una tendendia general a explicar y a aprender las cosas sin entender su utilidad o significado final. Una de ellas es el número de Euler; la constante e, cuyo valor es 2.71828 18284 59045 23536 …

Hay varias definiciones de e. Una de las más conocidas, que a mí personalmente me ayuda poco a entenderlo, es:

e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

Sin embargo, la principal utilidad de e y el motivo por el que se encuentra en tantas leyes básicas de la naturaleza es porque el número e está en todo aquello que crece cuanto más hay. Por ejemplo:

  • La propagación de enfermedades depende de cuánta gente tenga una enfermedad, cuantos más haya, más rápido se propaga.
  • Cuanto más dinero se tiene en un banco, más se gana por los intereses.
  • En una placa de petri, cuántas más bacterias hay, más rápido crece la colonia.

¿Qué ocurre en estos casos? En todos ellos, la velocidad con la que aumenta algo (el dinero, la población de una colonia, etc…) depende de la cantidad que hay de ese algo. La velocidad, o el cambio en el tiempo de algo, en matemáticas, es la derivada de ese algo. Y aquí entra el número e:

La única función cuya derivada es igual a ella misma (f'(x)=f(x)) es

f(x)=c * ex (donde c es una constante cualquiera)

Esta función es la llamada función exponencial, cuyo gráfico es:

Por tanto, todo aquello cuyo crecimiento depende de la cantidad que haya, crecerá exponencialmente.

Y los ricos serán todavía más ricos…

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2 comentarios »

  1. Sólo por acotación. C*e^x sólo cumple que f(x)=f'(x) si y sólo si x=1.

    Comentario por Cesar — Jueves, 16 agosto, 2007 @ 2:47 | Responder

  2. César, C*e^x cumple f(x)=f'(x) para todo x.

    No lo cumpliría si f(x) fuera f(x)=C*e^(a*x) con “a” distinto de 1.

    Saludos.

    Comentario por Manuel — Sábado, 18 agosto, 2007 @ 23:20 | Responder


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